Aula 07

Probabilidade em espaços discretos - Parte 5 - Probabilidade e Estatística | Aula 7

Lançamentos de moedas

Serão lançadas 4 moedas, honestas, sucessivamente. Calcule as seguintes probabilidades.

  1. Sair um número par de caras
  2. Saírem exatamente 3 caras
  3. Saírem exatamente 3 caras ou um número par de caras
  4. Saírem exatamente 3 caras e haver pelo menos 2 caras consecutivas
  5. Saírem pelo menos 2 caras consecutivas
  6. Não ocorrer o evento “número par de caras e pelo menos 2 caras consecutivas

Resolução

Temos, inicialmente, os seguintes eventos elementares:

\(A\) = Sair um número par de caras \(B\) = Saírem exatamente 3 caras \(C\) = Saírem pelo menos 2 caras consecutivas

E o seguinte espaço amostral \(S\)

0 Caras 1 Cara 2 Caras 3 caras 4 Caras
KKKK CKKK CCKK CCCK CCCC
  KCKK CKCK CCKC  
  KKCK CKKC CKCC  
  KKKC KCKC KCCC  
    KKCC    
    KCCK    
\[S = 16\]

1. Sair um número par de caras

0 Caras 1 Cara 2 Caras 3 caras 4 Caras
KKKK CKKK CCKK CCCK CCCC
  KCKK CKCK CCKC  
  KKCK CKKC CKCC  
  KKKC KCKC KCCC  
    KKCC    
    KCCK    

\(m = 8\) resultados favoráveis ao evento A (em negrito)

\(n = 16\) resultados possíveis

\[P(A) = \frac{m}{n} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} = 50\%\]

2. Saírem exatamente 3 caras

0 Caras 1 Cara 2 Caras 3 caras 4 Caras
KKKK CKKK CCKK CCCK CCCC
  KCKK CKCK CCKC  
  KKCK CKKC CKCC  
  KKKC KCKC KCCC  
    KKCC    
    KCCK    

\(m = 4\) resultados favoráveis ao evento B (em negrito)

\(n = 16\) resultados possíveis

\[P(B) = \frac{m}{n} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 25\%\]

3. Saírem exatamente 3 caras ou um número par de caras

0 Caras 1 Cara 2 Caras 3 caras 4 Caras
KKKK CKKK CCKK CCCK CCCC
  KCKK CKCK CCKC  
  KKCK CKKC CKCC  
  KKKC KCKC KCCC  
    KKCC    
    KCCK    
\[m = 4 + 8 = 12\]
  • 4 resultados favoráveis ao evento B (em negrito)
  • 8 resultados favoráveis ao evento A (em itálico)

\(n = 16\) resultados possíveis

\[P(A \cup B) = \frac{m}{n} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} = 75\%\]

4. Saírem exatamente 3 caras e haver pelo menos 2 caras consecutivas

0 Caras 1 Cara 2 Caras 3 caras 4 Caras
KKKK CKKK CCKK CCCK CCCC
  KCKK CKCK CCKC  
  KKCK CKKC CKCC  
  KKKC KCKC KCCC  
    KKCC    
    KCCK    
\[m = 4\]
  • 4 resultados favoráveis ao evento B (em negrito)
  • 8 resultados favoráveis ao evento C (em itálico), mas a penas 4 desses também são favoráveis ao evento B
  • Portanto, 4 eventos favoráveis aos eventos B e C

\(n = 16\) resultados possíveis

\[P(B \cap C) = \frac{m}{n} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 25\%\]

5. Saírem pelo menos 2 caras consecutivas

0 Caras 1 Cara 2 Caras 3 caras 4 Caras
KKKK CKKK CCKK CCCK CCCC
  KCKK CKCK CCKC  
  KKCK CKKC CKCC  
  KKKC KCKC KCCC  
    KKCC    
    KCCK    
\[m = 8 resultados favoráveis ao evento C (em negrito)\]

\(n = 16\) resultados possíveis

\[P(C) = \frac{m}{n} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} = 50\%\]

6. Não ocorrer o evento “número par de caras e pelo menos 2 caras consecutivas

0 Caras 1 Cara 2 Caras 3 caras 4 Caras
KKKK CKKK CCKK CCCK CCCC
  KCKK CKCK CCKC  
  KKCK CKKC CKCC  
  KKKC KCKC KCCC  
    KKCC    
    KCCK    

\(P(A) = 8\) resultados favoráveis ao evento A (em itálico)

\(P(C) = 8\) resultados favoráveis ao evento C (em negrito)

\(n = 16\) resultados possíveis

0 Caras 1 Cara 2 Caras 3 caras 4 Caras
KKKK CKKK CCKK CCCK CCCC
  KCKK CKCK CCKC  
  KKCK CKKC CKCC  
  KKKC KCKC KCCC  
    KKCC    
    KCCK    

\(P(A \cap C) = 4\) resultados favoráveis ao evento A i ntersecção C (em >negrito e itálico)$$

\(P(C) = 12\) resultados não favoráveis ao evento A intersecção C (sem >destaque)

\[P(\overline{A \cap C}) = \frac{m}{n} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} = 75\%\]